\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OF} } \right)\)

Qua M kẻ các đường thẳng \({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC\)

Từ đó ta có: \(\widehat {M{M_1}{M_6}} = \widehat {M{M_6}{M_1}} = \widehat {M{M_4}{M_2}} = \widehat {M{M_2}{M_4}} = \widehat {M{M_3}{M_5}} = \widehat {M{M_5}{M_3}} = 60^\circ \)

Suy ra các tam giác \(\Delta M{M_3}{M_5},\Delta M{M_1}{M_6},\Delta M{M_2}{M_4}\) đều

Áp dụng tính chất trung tuyến \(\overrightarrow {AM}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right)\)(với M là trung điểm của BC) ta có:

\(\overrightarrow {ME}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right);\overrightarrow {MD}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_4}} } \right);\overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)

Ta có: các tứ giác \(A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}\) là hình bình hành

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có

\(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}}  + \overrightarrow {M{M_3}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}}  + \overrightarrow {M{M_5}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_4}}  + \overrightarrow {M{M_6}} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {MB}  + \frac{1}{2}\overrightarrow {MC}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {\left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO}  + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\)

\( = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {MO}  + \left( {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right)} \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)

Vậy \(\overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {ME}  + \overrightarrow {MF}  = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)

minh dang nghi cau a con cau b minh ra r ban co can k

b)me=1/3mn bf=1/3bcmn//bc

=>me//bf

=>e la trung diem cua af

=> AEF thang hang

u a tuong tu

Bạn xem lại đề ạ!

Nếu bạn đã chứng minh được D là trung điểm IQ; E là trung điểm KP; E là trung điểm KP; F là trung điểm LJ

Thì dễ dàng suy ra được: \(\overrightarrow{MD}=\frac{\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{MQ}}{2}\); \(\overrightarrow{ME}=\frac{\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{MP}}{2}\); \(\overrightarrow{MF}=\frac{\overrightarrow{MJ}+\overrightarrow{ML}}{2}\)

( Vì chúng ta có tính chất: Nếu I là trung điểm đoạn thẳng AB thì mọi điểm M ta có: \(2\overrightarrow{MI}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\)) 

Dễ thấy: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC}  =  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} \)

Ta có:

 +) \(\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD} \). Mà \(\overrightarrow {BD}  =  - \overrightarrow {DB}  =  - \frac{1}{3}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \left( { - \frac{1}{3}} \right)( - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} ) = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

+) \(\overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {DA}  + \overrightarrow {AH}  =  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AH} \).

Mà \(\overrightarrow {AD}  = \frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} ;\;\;\overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} .\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {DH}  =  - \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AB}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right) + \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)

+) \(\overrightarrow {HE}  = \overrightarrow {HA}  + \overrightarrow {AE}  =  - \overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {AE} \)

Mà \(\overrightarrow {AH}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} ;\;\overrightarrow {AE}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {HE}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} .\)

b)

Theo câu a, ta có: \(\overrightarrow {DH}  = \overrightarrow {HE}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \) Hai vecto \(\overrightarrow {DH} ,\overrightarrow {HE} \) cùng phương.

\( \Leftrightarrow \)D, E, H thẳng hàng

a.

\(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BM}\)

b.

\(\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{EM}=3\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{AM}\Rightarrow4\overrightarrow{AE}=3\overrightarrow{AM}\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AM}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{AE}=\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)=\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}=-\dfrac{5}{8}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{8}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{BK}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AK}=-\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{5}\overrightarrow{AC}=\dfrac{8}{5}\overrightarrow{BE}\)

\(\Rightarrow\) B, E, K thẳng hàng

Qua M kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác

A₁B₁ // AB; A₂C₂ // AC; B₂C₁ // BC.

Dễ thấy các tam giác MB₁C₂; MA₁C₁;MA₂B₂ đều là các tam giác đều. Ta lại có MD B₁C₂ nên MD cũng là trung điểm thuộc cạnh B₁C₂ của tam giác MB₁C₂

Ta có 2 = +

Tương tự: 2 = +

2 = +

=> 2( ++) = (+) + ( + ) + (+)

Tứ giác là hình bình hành nên

+ =

Tương tự: + =

+ =

=> 2( ++) = ++

vì O là trọng tâm bất kì của tam giác và M là một điểm bất kì nên

++ = 3.

Cuối cùng ta có:

2( ++) = 3;

=> ++ =